Números enteros y polinomios

El problema del redondeo:
es mejor usar números enteros y dejar la fracción sin resolver (es peor dividir, usar números decimales y redondear).

Hay números que no tienen coma decimal y otros que sí la necesitan.

Por ej un número es el 2, otro número es el 9, otro número es el 1365, otro número es el 23205, y otro número es el 141960. A estos números se les llama Enteros porque contienen unidades enteras y no trozos de unidades.

Los números enteros se emplean por ejemplo para simbolizar el año de nacimiento. Yo nací en 1967. La tata en 1972. Tu mamá en 1976. El tito en 1980.

Hay otros números que tienen decimales porque no son exactamente redondeados a la unidad ya que tienen una parte que no completa una unidad, por ej 2.5 representa dos unidades y media unidad más. Se pone una coma arriba para expresar que tiene una parte fraccionaria que no completa una unidad y debe escribirse en papel como 2'5, pero en la era de la informática y de las calculadoras esa coma ha pasado a ser un punto y se escribe abajo como 2.5

Los números que tienen decimales son un problema porque algunos tienen infinitos decimales. Por ejemplo si se divide 5 entre 2 el resultado es 2.5, que tiene un único decimal, pero si se divide 5 entre 3 el resultado es 1.66666666666666666666666666666666666666666666666666666666 y no se acabaría nunca. Para acabar hay que redondear hacia arriba o hacia abajo dependiendo del número que se va a dejar de poner, por ej 5/3=1.6667 redondeando a 4 decimales. Como el quinto decimal vale 6, es mayor que 5, y se va a dejar de poner, el cuarto decimal que valdría 6 se pone como 7, redondeando hacia arriba.

En otros casos el redondeo es hacia abajo, por ej 7/3=2.3333333333333333333333333333333333333333 y no se acabaría nunca, y se redondea 7/3=2.3333 a cuatro decimales, porque el quinto decimal vale 3, es menor que 5 y se va a dejar de poner, y el cuarto decimal se queda como está y se pone como 3.

Los números decimales se emplean por ejemplo para simbolizar la edad. Por ej 55.9 años significa que estás a punto de cumplir los 56 años, pero todavía no los tienes, o 12.1 años, que significa que acabas de cumplir los 12 años. Para las edades solo se pueden emplear enteros justo el día del cumpleaños, por ej 12 años, porque el día de antes tenías 11.999999999998 años y el día después tienes 12.000000000001 años.

Los redondeos son un problema cuando se van a sumar muchísimos números redondeados. Se espera que haya los mismos redondeos hacia arriba que hacia abajo, y que se compensen entre sí, pero ¿qué pasaría si todos los redondeos fuesen hacia arriba? ¿Te imaginas un Banco que pague muchos cheques y que siempre entregue a sus clientes 100 euros cuando lo que tiene que entregar es 99'6 euros? Estaría perdiendo 0.4 céntimos en cada pago. Si hace un millón de pagos en un día, estaría perdiendo 1000000x0.4=400000 euros. ¿cuatrocientos mil euros perdidos cada día? ¡qué ruina!
De otro modo, imaginemos que los cheques son de 99.4 euros y que el Banco paga siempre a sus clientes 99 euros, redondeando hacia abajo, en el millón de pagos en un día estaría ganando cuatrocientos mil euros estafando a sus clientes.

Igual pasa cuando hay que poner una cantidad de compuesto químico en una medicina, en una probeta de la que luego se van a extraer un millón de pastillas.

Igual pasa con una medida de peso de viga, que luego se van a poner un millón de vigas al construir un edificio.

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El redondeo es una catástrofe, un problema gordo, que se resuelve dejando la operación de división sin hacerla, es decir, se queda el resultado en forma de fracción, con un numerador arriba y un denominador debajo, por ej 5/3, o 7/3, o 1967/281, o 1976/247

El redondeo ocurre cuando haces las operaciones con una calculadora convencional, pero no necesariamente ocurre cuando haces las operaciones con una calculadora algebráica como GeoGebra o si le pides a una inteligencia artificial que calcule. Veámoslo:

LE PIDO A GEOGEBRA QUE CALCULE (7*4)/(3*4), O SEA 28/12:

Y hace la cuenta como una calculadora ordinaria,
pero se puede pulsar en el botón de fracción

Y se muestra la fracción simplificada irreducible equivalente.

y luego se puede pulsar en el botón de aproximación (casi igual) para volver a ver el resultado aproximado con decimales.
Si quieres que geogebra calcule directamente la fraccion irreducible, se lo puedes pedir con la función Simplifica([numero]).
Para ello escribes
simplifica(28/12)
y pulsas INTRO

y responderá

que es una respuesta un poco absurda porque primero parece que divide y calcula el resultado con decimales. Pero bueno, al final muestra la fracción simplificada irreducible.

LE PIDO A CHATGPT: LE PIDO A CHATGPT: LE PIDO A CHATGPT:

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El problema de la fracción con números grandes. Criterios de divisibilidad y factorización de enteros.

El número 2 es un número curioso porque si queremos expresarlo como el producto de otros números solo nos queda la opción de multiplicarlo por el número 1, así:
2 x 1 = 2

En cambio el 9 puede expresarse como el producto de otros números de varias maneras:

• con el número 1 sería
  9 x 1 = 9
• y con el número 3 sería
  3 x 3 = 9

A los números que sólo pueden expresarse en forma de producto usándose a sí mismo y a la unidad se les llama Números Primos, por ej el 1, el 2, el 3, el 5, el 7, el 11, el 13... Se dice también que sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad.

El resto de números, que no son primos, se llaman Números Compuestos, porque pueden expresarse en forma de un producto de números primos.

Aquí la palabra primo no significa hijo de tu tío y/o de tu tía, pero sí significa familia, en concreto la "primera" familia, de números, que puede "generar" al resto de números.

LE PIDO A CHATGPT:

Correcto.

LE PIDO A CHATGPT:

Correcto.

Aquí chatgpt no se equivoca ya que ni el número 0 ni el 1 son primos, pero se lo pregunto a GeoGebra y a ChatGPT a ver si lo saben.
LE PIDO A GEOGEBRA SI ES PRIMO EL NÚMERO CERO:

Y no sabe qué responder. Debería responder que no es primo porque tiene infinitos divisores, pero responde con un signo de interrogación, lo que no ayuda a aprender nada.
LE PIDO A GEOGEBRA LA LISTA DE DIVISORES DEL CERO:

Y no sabe qué responder. Debería responder infinito, pero responde con un signo de interrogación, lo que no ayuda a aprender nada.
LE PIDO A CHATGPT:

Correcto.

LE PIDO A CHATGPT:

Correcto.

LE PIDO A CHATGPT:

Correcto.

Entonces el 1 debe ser un número compuesto, pero se lo pregunto a ver si chatgpt lo sabe.

LE PIDO A CHATGPT:

Correcto.

Sorprendentemente, esto es correcto. Y aprendemos que el 1 no es ni primo ni compuesto.

¡ATENCIÓN, PELIGRO!
Parecería adecuado argumentar que ChatGPT es mejor herramienta para estudiar que GeoGebra, ya que GeoGebra no es más que una calculadora, sofisticada pero calculadora al fin y al cabo, mientras que ChatGPT es una Inteligencia Artificial, que piensa y contesta como un humano. Pues no, nada más lejos de la realidad, como veremos más adelante. La inteligencia artificial puede dar respuestas falsas que no solo no ayudan a aprender sino que ayudan a desaprender y enseñan a equivocarse.
Es importante entender que una inteligencia artificial como ChatGPT es una herramienta de tipo COPILOTO. El volante lo tenemos que llevar nosotros, como PILOTOS RESPONSABLES, y, en tanto que nosotros lo llevemos, sin duda nos ayudará a aumentar la eficiencia con la que trabajamos y estudiamos, pero nunca debemos dejar caer la responsabilidad ni admitir a priori que las respuestas de una Inteligencia Artificial son verdaderas. Aunque, por otro lado, si verificamos que lo son, la máquina nos habrá ahorrado mucho trabajo redactándolas por nosotros.

El problema de los números compuestos grandes:
cómo escribir los números compuestos grandes para que sean más manejables.

Más atrás he dicho que el redondeo al dividir un número entre otro es una catástrofe, un problema gordo, que se resuelve dejando la operación de división sin hacerla, es decir, se queda el resultado en forma de fracción, con un numerador arriba y un denominador debajo, por ej 5/3, o 7/3, o 1967/281, o 1976/247

Si hubiese puesto por ej 8/2 enseguida se puede notar que algo falla, ya que 8 y 2 son números pares. El criterio de divisibilidad entre 2 dice que

, por lo que 8 es un número par y por tanto se puede dividir exactamente entre 2, y por lo que la expresión 8/2 tiene una forma más simple que es 4.

Si hubiese puesto por ej 8000/360 enseguida se habría podido notar que algo fallaba, ya que 8000 es un número par y también es par el número 360, por lo que se puede dividir arriba y abajo entre 2, quedando 8000/360 = 4000/180 como forma más simplificada.

¿Se puede simplificar más?
Pues sí, mientras numerador y denominador sean ambos números pares, podemos seguir dividiendo entre 2 arriba y abajo, para dar 4000/180 = 2000/90 = 1000/45
Y luego, cuando ya no podemos seguir dividiendo entre 2, podemos seguir intentar dividiendo entre todos y cada uno de los números primos restantes: 3,5,7,11,13,17...

entre 3 no cabe exacto. Los múltiplos de 3, o lo que es lo mismo, el criterio de divisibilidad entre 3, dice que , pero aunque 4+5 dá 9, que es múltiplo de 3 (y por tanto 45 es múltiplo de 3), resulta que 1+0+0+0 dá 1 que no es múltiplo de 3, así que 1000 no es múltiplo de 3.
entre 5 si, porque el criterio de divisibilidad entre 5 dice que . Como 1000 acaba en 0 y 45 acaba en 5, ambos son múltiplos de 5, luego 1000/45 = (1000:5)/(45:5)=200/9
Hay que probar divisores hasta la raiz cuadrada del número más pequeño entre el numerador y el denominador. Como el más pequeño es el denominador, 9, y su raiz cuadrada es 3, y vamos probando a dividir por el 5, ya no se sigue, y la fracción irreducible es 200/9.
En otros casos habrá que seguir probando. Consulta en esta misma página otros criterios de divisibilidad para más información.


Es un buen ejercicio comprobar que 8000/360 se simplifica a 200/9.
PIDO A CHATGPT:

PIDO A GEOGEBRA QUE SIMPLIFIQUE 8000/360

La regla general es que se simplifica una fracción dividiendo numerador y denominador por aquel factor más grande que sea a la vez (común) factor del numerador y factor del denominador. Esto es lo que se conoce como Máximo Común Divisor o MCD

Pero yo prefiero considerar que lo que ayuda a simplificar rápidamente una fracción es factorizar tanto el numerador como el denominador.
PIDO A CHATGPT:

Correcto.

PIDO A CHATGPT:

Correcto.

Ya sabes cómo se factoriza en papel, dibujando una linea vertical con el número a factorizar a la izquierda, los factores primos a la derecha, y a la izquierda debajo va quedando el cociente hasta llegar al 1. Le preguntaré a chatgpt a ver si él también lo sabe.
PIDO A CHATGPT:

Correcto. ChatGPT lo llama "árbol de factorización", y escribe una línea vertical por trozos, pero correcta.

PIDO A GEOGEBRA LOS FACTORES PRIMOS DE 8000 Y DE 360

Correcto.

En el ejemplo de 8000/360, basta con calcular los factores primos de 8000 y los factores primos de 360:
Factores Primos de 8000= 2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 2^6 · 5^3 = 2⁶ 5³
Factores Primos de 360= 2·2·2·3·3·5 = 2^3·3^2·5 = 2³ 3² 5
⁸⁰⁰⁰/₃₆₀=^{2·2·2·2·2·2·2·5·5·5}/_{2·2·2·3·3·5}
y con esta expresión se pueden "tachar" de arriba y de abajo los números iguales o comunes, o sea, dividir el numerador y el denominador por el número "tachado", con lo que queda un factor de 1 que no se pone y se puede tachar.
En el numerador se tachan tres factores 2, y un factor 5.
En el denominador, igual, se tachan tres factores 2 y un factor 5.
¡¡¡¡¡ Qué casualidad que el MCD de 8000 y de 360 sea 40 = 2·2·2·5 !!!!!
Y queda:
^{2·2·2·2·2·2·5·5·5}/_{2·2·2·3·3·5}
y lo que queda es la fracción ⁸⁰⁰⁰/₃₆₀=^{2·2·2·5·5}/_3·3=2³·5²/3²

23 × 52

───────────────

32

que si se desea se puede expresar como
²⁰⁰/₉

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pero mejor que no lo desees, porque la expresión ^{2·2·2·5·5}/_3·3 siempre será más útil para seguir operando.
Abrevialá, como mucho, en 2³·5²/3²


Si no te crees que es más útil dejar los números descompuestos en factores primos, mira lo siguiente:
AHORA LO VOY A REPETIR POR TERCERA VEZ:

Más atrás he dicho que el redondeo al dividir un número entre otro es una catástrofe, un problema gordo, que se resuelve dejando la operación de división sin hacerla, es decir, se queda el resultado en forma de fracción, con un numerador arriba y un denominador debajo, por ej 5/3, o 7/3, o 1967/281, o 1976/247

Y AHORA LO VOY A REPETIR POR CUARTA VEZ, PERO PONIENDO NUMERADOR Y DENOMINADOR FACTORIZADOS:

Más atrás he dicho que el redondeo al dividir un número entre otro es una catástrofe, un problema gordo, que se resuelve dejando la operación de división sin hacerla, es decir, se queda el resultado en forma de fracción, con un numerador arriba y un denominador debajo, por ej 5/3, o 7/3, o ^{7 281}/₂₈₁, o ^{2 2 2 13 19}/_{13 19}

¿No ves nada raro?
VER RESPUESTA

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Siempre es más útil dejar el numerador y el denominador de una fracción en forma factorizada, para seguir operando y simplificando cómodamente después.

El problema de saber cúando una función pasa por el cero, o para qué valor de x el polinomio se evalúa a cero:
cómo calcular las raíces (de una función o de un polinomio).

Una función f(x)=y, se representa mediante un polinomio de una variable x

El caso más fácil es cuando el polinomio es un monomio constante, un número. Por ej y=5.
Puede ayudar mucho a analizar una función si se conoce su gráfica, dibujada en un plano Cartesiano, un plano x-y
¿Y cuál es la gráfica de y=5?
¿Pero si 5 no contiene x, cómo voy a dibujar una gráfica en un plano cartesiano x-y?
Muy fácil, porque y vale 5 para cualquier x. Si x=-5, y=5; si x=0, y=5; si x=7, y=5; si x=LoQueSea, y=5 ...
En realidad 5 es un polinomio en x, o sea, es una función en x, o sea, es una f(x), pero el exponente de la x es el cero, y como todo número elevado a cero vale 1, tenemos:
f(x)=5x⁰=5· 1=5
DIBUJO LA GRÁFICA DE LA FUNCION Y=5 CON GEOGEBRA:
Esta función nunca se anula, porque siempre vale 5, o sea, siempre está sobre el eje de las x, que se llama EJE DE ORDENADAS.
Corta al eje de las y, que se llamaa EJE DE ABCISAS, en el punto (x,y)=(0,5)
¿sabrías dibujar con geogebra una gráfica horizontal que pasara por el punto (0,-7)?
VER RESPUESTA

Otro caso un poco menos fácil es cuando el polinomio es un monomio que involucra la variable x elevada a potencia 1. Por ej y=x.
¿y cuál es la gráfica de y=x?
Pues una recta donde, sea lo que sea que valga x, la y vale lo mismo
DIBUJO LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN Y=X CON GEOGEBRA:
Para ello hay que teclear en la celdilla de entrada
f(x)=x
y pulsar INTRO
¿Cuál es la raíz de esta función?=¿Dónde se anula esta función?=¿Para qué valor de x tenemos que la y vale cero?
Esto se resuelve haciendo que y=0, pero como y=x, tenemos 0=x, que es una ecuación muy fácil de resolver, porque ya se ve que x=0.

BUSCO LAS RAICES DE Y=X CON CHATGPT, PIDO A CHATGPT

Correcto.

BUSCO LAS RAICES DE Y=X CON GEOGEBRA

Correcto.

Otro caso un poco menos fácil es cuando el polinomio involucra la variable x elevada a potencia 1 y otro término independiente. Por ej y=x+5.
¿y cuál es la gráfica de y=x+5?
Pues una recta donde, sea lo que sea que valga x, la y vale lo mismo y 5 unidades más
DIBUJO LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN Y=X+5 CON GEOGEBRA:
Para ello hay que teclear en la celdilla de entrada
f(x)=x+5
y pulsar INTRO
¿Cuál es la raíz de esta función?=¿Dónde se anula esta función?=¿Para qué valor de x tenemos que la y vale cero?
Esto se resuelve haciendo que y=0, pero como y=x+5, tenemos 0=x+5, que es una ecuación muy fácil de resolver, restando 5 a ambos lados de la igualdad, y ya se ve que x=-5.

BUSCO LAS RAICES DE Y=X+5 CON CHATGPT, PIDO A CHATGPT

Correcto.

BUSCO LAS RAICES DE Y=X+5 CON GEOGEBRA

Correcto.

Observa que GeoGebra tiene dos funciones muy parecidas, "Resuelve([ecuación])" y "Soluciones[ecuación]", la primera da una lista de igualdades variable=valor, y la segunda da una lista de valores.


Otro caso un poco menos fácil es cuando el polinomio involucra la variable x elevada a potencia 2. Por ej y=x².
¿y cuál es la gráfica de y=x²?
Pues una parábola con los brazos hacia arriba y que pasa por el punto (0,0) en su punto mínimo
DIBUJO LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN Y=X² CON GEOGEBRA:
Para ello hay que teclear en la celdilla de entrada
f(x)=x^2
y pulsar INTRO
¿Cuál es la raíz de esta función?=¿Dónde se anula esta función?=¿Para qué valor de x tenemos que la y vale cero?
Esto se resuelve haciendo que y=0, pero como y=x², tenemos 0=x², que es una ecuación muy fácil de resolver, y ya se ve que x=√0=0.

BUSCO LAS RAICES DE Y=X² CON CHATGPT, PIDO A CHATGPT

Correcto.

Como resuelve rápidamente la ecuación x^2=0, le pido que la resuelva paso a paso
PIDO A CHATGPT

Correcto.

BUSCO LAS RAICES DE Y=X² CON GEOGEBRA

Correcto.

Otro caso un poco menos fácil es cuando el polinomio involucra la variable x elevada a potencia 2 y también tiene un término independiente. Por ej y=x²+5.
¿y cuál es la gráfica de y=x²+5?
Pues una parábola con los brazos hacia arriba y que pasa por el punto (0,5) en su punto mínimo
DIBUJO LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN Y=X²+5 CON GEOGEBRA:
Para ello hay que teclear en la celdilla de entrada
f(x)=x^2[cursor abajo]+5
y pulsar INTRO
Lo de [cursor abajo] significa que hay que pulsar la tecla de flecha del cursor hacia abajo para que el foco de teclado pase desde superíndice a la posición normal antes de escribir el +5, porque de lo contrario se queda el +5 como exponente sumando al exponente 2
¿Cuál es la raíz de esta función?=¿Dónde se anula esta función?=¿Para qué valor de x tenemos que la y vale cero?
Esto se resuelve haciendo que y=0, pero como y=x²+5, tenemos 0=x²+5, que es una ecuación que no es fácil de resolver, ya que
-5=x²
x=√-5
que es una raiz cuadrada de un número negativo, que no existe en los Números Reales.
Ya se veía en la gráfica que la parábola está siempre por encima del eje de ordenadas, el eje de las x, así que nunca corta al eje de ordenadas.
En matemáticas avanzadas la ecuación x²+5=0 tiene 2 soluciones complejas ver números complejos.

BUSCO LAS RAICES DE Y=X²+5 CON CHATGPT, PIDO A CHATGPT

Correcto.

Como resuelve rápidamente la ecuación x^2+5=0 buscando soluciones reales, le pido que la resuelva buscando soluciones complejas
PIDO A CHATGPT

Correcto.

BUSCO LAS RAICES DE Y=X²+5 CON GEOGEBRA

Correcto.

voy por aquí

El problema de saber cuándo un polinomio se evalúa a cero:
cómo calcular las raíces de un polinomio.

voy por aquí

El problema de saber cuándo un polinomio cuadrático se evalúa a cero:
cómo calcular las raíces de un polinomio cuadrático.

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El problema de saber cuándo podemos extraer factor común una suma por una diferencia:
calculando inmediatamente dos raíces de un polinomio de grado mayor que 2.

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El problema de saber las raíces de un polinomio de grado muy grande:
cómo calcular las raíces de un polinomio de grado 3, 4, 5...

voy por aquí

Los números positivos que no tienen decimales:
es mejor usar números enteros positivos que números enteros negativos.

PREGUNTO A CHATGPT:

Los números que no tienen decimales:
es mejor usar números enteros que números decimales.

PREGUNTO A CHATGPT:

Los números que generan a los demás:

PREGUNTO A CHATGPT:

¿Cuándo un número es divisible por 2? ¿Y por 3? ¿Y por 5?:

PREGUNTO A CHATGPT:

Los factores de un número a son todos aquellos números que, multiplicados entre sí, dan el número a.
Un factor b es un número entero que está multiplicando a otro o a otros números enteros c,d,e,... para dar otro número entero a, del que se dice que es un factor.
También se dice que b es un divisor entero de a.

PREGUNTO A CHATGPT:

Un monomio es

PREGUNTO A CHATGPT:

Un polinomio es una expresión algebráica que está formada por varios monomios

PREGUNTO A CHATGPT:

Los números complejos son introducidos por las matemáticas avanzadas para dar cabida a raices cuadradas de números negativos.
Así √-1=i
y la i latina es el símbolo que acompaña a la parte imaginaria de un número complejo.
Por ej: 2+3i es un número complejo que tiene parte real 2 y parte imaginaria 3

PREGUNTO A CHATGPT: